高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

习题12 2

1. 求下列微分方程的通解: (1)xy′ yln y=0; 解 分离变量得

1dy=1dx, ylnyx1dy=1dx, ∫ylny∫x

两边积分得

即 ln(ln y)=ln x+ln C, 故通解为y=eCx . (2)3x2+5x 5y′=0; 解 分离变量得 5dy=(3x2+5x)dx, 两边积分得

5dy=(3x2+5x)dx,

∫∫

即 5y=x3+

5x2+C,

1

2111故通解为y=x3+x2+C, 其中C=1为任意常数. 525

(3) x2y′= y2; 解 分离变量得

dy

=dx, y2 x2

两边积分得

∫

dy

=∫dx y2 x2

即 arcsin y=arcsin x+C,

故通解为y=sin(arcsin x+C). (4)y′ xy′=a(y2+y′);

解 方程变形为(1 x a)y′=ay2, 分离变量得