高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

故 V= πr2dx=

πx2dx,

3

从而 0.62×0.5×2×980)xdt=

x2dx,

3

即 dt=

3×0.62×0.5×980

3

x2,

因此 t=x2+C.

3×0.62×0.×980

又因为当t=0时, x=10, 所以C=故水从小孔流出的规律为

5

π

3×5×0.62×0.552

,

2 t=(102 x2)= 0.0305x2+9.645.

3×5×0.62×0.5×980

令x=0, 得水流完所需时间约为10s.

4. 质量为1g(克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t=10s时, 速度等于50cm/s, 外力为4g cm/s2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？ 解 已知F=k

555

t, 并且法t=10s时, v=50cm/s, F=4g cm/s2, 故4=k10, 从而k=20, 因此v50

F=20t.

v

又由牛顿定律, F=ma, 即1 分方程. 解之得

dv=20t, 故v dv=20tdt . 这就是速度与时间应满足的微dtv

1v2=10t2+C, 即v=20t2+2C.

2

1 由初始条件有502=10×102+C, C=250. 因此 2

v=20t2+500.

当t=60s时, v=×602+500=269.3cm/s.

5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R0的一半. 试求镭的量R与时间t的函数关系.