数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

解：原式 lim

x

a

a

x

a

xa

a

x a

a

a x

a

x

lim

a

a

a

x

a

x

a

x a

x a

x aa x

x

a

a

a

x

a

a

a

ax a

x

lim

a

x

a

a

a

a

x a

a

x aa x

x

a

xa

aa aaa a lim x a x a x axaaa

x a aa aaa ax a

lim a xa a xax a x ax a x a

a

x a

x

a xa

ax

a

a

x a

10

y

y a

a

x

a

x a

a1a

a lna a

a lna 1

⑦ lim

1 tgx 1 sinx

10

x 0

sinx

10

解：原式=lim

1 tgx

10

1 sinx x

x 0

xsinx

1 tgx 10 1 tg0 10 1 sinx 10 1 sin0 10

lim

x 0 xx

1 tgx

10

x 0

1 sinx

10

x 0

20

k n i m

kn ，m为自然数 ⑧ lim m 1

n n i 1

k

解：原式 lim n

i 1k n i m

n lim

nm 1 n i 1

m

m

i

n 1 n n

k

lim

n

i 1

i

1 1

n

i

i

n

k

i 1

i 1 x

m

x 0

mk k 1

2

2 设f x 在x0处二阶可导，计算lim

f x0 h 2f x0 f x0 h

h

2

。

h 0

解：lim

f x0 h 2f x0 f x0 h

h

2

h 0

lim

f x0 h f x0 h

2h

h 0

f x0 h f x0 1 f x0 h f x0 lim f x0 h 0h h 2

3 设f x0 存在，计算lim

xf

x0 x0f x

x x0

x x0