数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

③ lim

ln x e

x

2sinx

x 0

sin 2tgx sin tgx tgx

解：原式可如下考虑：若x 0时，sin 2tg2x sin tg2x tg2x 2x， 又 tgx x,lim

x e 12x

x

2x x

x 0

2 1，lnx ex x ex 1 2sinx 2x

且lim

x 0

1 1，故原式 lim

ax

bx

x e 1 2x

2x x

x

x 0

4。

④ lim

1 ax 1 bx

x 0

tg2x x sinx x

e

ax

,a b

bx

解：原式 lim

ln 1 ax eln 1 bx

x 0

2x x x x

a2ln 1 ax b2ln 1 bx a2 b2

lim x 0ax2bx2 2

习题1—4

1

1求 lim 1

x x

x

2

e

x

解：原式 lime

x 3

1 2

xln 1 x

x

lime

x

1 1 2 1

x 0 x

22

x x2x

lime

x

12 1

x0

2 2 x

e

12

2 求lim

ex 1 xsin6x

3

x

6

x 0

1 x

3

解：原式 lim

0 xx

6

6

1 x

3

x 0

12

sinxf x

03 设f x 在x 0处可导，且lim 2 求f 0 ,f 2，x 0xx

x

x

3

及lim

x 0

1 f x x

sinx xf x

解：因lim lim2

x 0x 0x

3!

o x

4

x f 0 f 0 x o x

x

2

x

3

1 f 0 x

lim故f 0 1,f 0 2

x 0

f 0 x

2

2

x

2