数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

故lim

n

xnyn

a。

当a 时， G 0, N，当n N时，有

xn xn 1yn yn 1

G xn xn p G yn yn p

令p ，便可得xn Gyn，即

xnyn

xnyn

G n N

故lim

n

。

当a ，只要令xn xn ，便可转化为a 的情况。

习题1—6

1设f x 在 a, 内可微，且limlimf x A。

f x x

A，则当limf x 存在时，证明

n

n

n

证明：直接利用广义洛必达法则可得。

2 设f x 在 a, 内二阶可导，且limf "x A。

x

证明lim

f x x

n

A,lim

f x x

2

n

A2

。

证明：直接可用广义洛必达法则。

3 设f x 在 a, 内可微，limf x ,limf x 存在，证明limf x 0。

n

n

n

证明：设A limf x lim

n

xf x x

n

lim

n

f x xf x

故limxf x 0 limf x 0

n

n

4 设f x 在 a, 上连续，lim f x

n

xa

f

x dt

A，

证明：lim

n

xa

f x dt A,limf x 0

n

证明 令F x

xa

F x F x f x dt，则F x f x ，故有lim A，由x

n

例1.6.2可得limF x A,limf x 0

n