数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

lim

1 f x x

x 0

lim

1 f 0 f 0 x o x

x

x

x 0

o x

lim f 0 2 x 0x

4

求lim

x 0

x

ln 1 x xe

1

解：原式 lim

x 0

x

ln 1 x xe

2

2

1

x

1 1 1

1x2 22 21 x x o x 1

lim2

x 0x2

x o x x 1 x o x 2

lim

x 0

1

82x2

x o x

14

xo x

n

5

求lim

1

n

lnn

1

1 x 1 ln x

xx

ln

xln 1 x

lime e x 0x 0

x

x

1

lim

x 0

1x

解：原式lim

lnn

1x

n

n

lim

x 0

，而lim

e 1

1 1

故ln 1 x 0 ，故原式=1。

x x

xx

6 设f x 在x 0处可导，f 0 0,f 0 0,若af h bf 2h f 0 在h 0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值。

af h bf 2h f 0

h

解：lim

h 0

0

即 lim

a f 0 f 0 h o h b f 0 f 0 2h o 2h f 0

h

h 0

0

即 lim

a b 1 f 0 f 0 h a 2b ao h bo 2h

h

h 0

0

a b 1 0 a 2

故

a 2b 0b 1