good

【分析】不等式中log2

4(a 1)

a

、 log2

2aa 1

、log2

(a 1)4a

2

2

三项有何联系？进行对

数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。

【解】 设log2

log2

2aa 1

2aa 1

＝t，则log2

2

4(a 1)

a

a 12a

＝log2

8(a 1)2a

＝3＋log2

a 12a

＝3－

＝3－t，log2

(a 1)4a

2

＝2log2

＝－2t，

代入后原不等式简化为（3－t）x2＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以： 3 t 0 t 32a

，解得 ∴ t<0即log<0 22

a 1 t 0或t 6 4t 8t(3 t) 0

0<

2aa 1

<1，解得0<a<1。

【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log2

4(a 1)

a

、 log2

2aa 1

、log2

(a 1)4a

2

2

三项之间的联

系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所

给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。

例5. 已知值。

【解】 设

sinθxsinθx

＝

cosθy

，且

cosθx

2

2

＋

sinθy

2

2

＝

103(x y)

2

2

(②式)，求

xy

的

＝

cosθy

＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sin2θ＋cos2θ＝

2

k(x+y)＝1,代入②式得：

103

222

kyx

2

22

＋

kxy

2

22

＝

103(x y)

2

2

＝

10k3

yx

22

＋

xy

22

＝

xy

22

设＝t，则t＋

1t

＝

103

, 解得：t＝3或 ∴

3

1xy

＝±3或±

33