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【另解】 由S＝x2＋y2，设x2＝

S2

＋t，y2＝

S2

－t，t∈[－

S2

，

S2

]，

则xy＝±

S

2

4

－t

2

代入①式得：4S±5

S

2

4

－t

2

=5，

移项平方整理得 100t2+39S2－160S＋100＝0 。 ∴ 39S2－160S＋100≤0 解得：

1Smax

1Smin

310

1310

1610

101385

≤S≤

103

∴ ＋＝＋＝＝

【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x2＋y2与三角公式cos2α＋sin2α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x2＋y2而按照均值换元的思路，设x2＝S＋t、y2＝S－t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的

2

2

几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a2＋13b2＝5 ，求得a2∈[0,

1013

2013

1013

103

53

]，所以S＝(a－b)2＋(a＋b)2

＝2(a2＋b2)＝

＋

a2∈[

,]，再求

1Smax

＋

1Smin

的值。

例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，

A C2

1cosA

＋

1cosC

＝－

2cosB

，求

cos的值。（96年全国理）

【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得

A C 120° A＝60° α

；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设 ，再代入可

B＝60°C＝60°－α

求cosα即cos

A C2

。

A C 120°【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ,

B＝60°