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2cos

A C2

cos

A C2

＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos

A C2

＝

22

－2cos(A-C)

＝

22

－2(2cos2

A C2

－1)，整理得：42cos2

A C2

＋2cos

A C2

－32＝0,

解得：cos

A C2

＝

22

例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx²cosx－2a2的最大值和最小值。

【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[-

2,2]，由(sinx＋t 12

2

cosx)＝1＋2sinx²cosx得：sinx²cosx＝

12

12

2

∴ f(x)＝g(t)＝－

(t－2a)2＋

（a>0），t∈[-2,2]

12

t＝-2时，取最小值：－2a2－22a－

12

当2a≥2时，t＝2，取最大值：－2a2＋22a－当0<2a≤2时，t＝2a，取最大值：

12

；

。

∴ f(x)的最小值为－2a2－2

12

(0 a )

1 222a－，最大值为

21 2

2a 22a (a 2

。

22)

【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx²cosx

的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-2,2]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。

一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。

例4. 设对所于有实数x，不等式x2log2

恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）

4(a 1)

a

＋2x log2

2aa 1

＋log2

(a 1)4a

2

2

>0