高中数学解题基本方法(4)
发布时间：2021-06-05
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A＝60° α
由A＋C＝120°，设 ，代入已知等式得：
C＝60°－α 1cosA
＋
1cosC
＝
1cos(60 )
＋
1cos(60 )
＝
12
1
cos
32sin
＋
1
12cos
32sin
＝
cos
14
cos
2
34
＝
sin
2
cos cos
2
34
＝－22,
解得：cosα＝
22
， 即：cos
A C2
＝
22
。
【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以
1cosA
1cosC
1cosA
＋
1cosC
＝－
2cosB
＝－22，设
1
＝－2＋m，
1
＝－2－m ，
所以cosA＝
2 m
，cosC＝
2 m
，两式分别相加、相减得：
cosA＋cosC＝2cos
A C2
cos
A C2
＝cos
A C2
＝
22m 2
2
，
2mm
2
cosA－cosC＝－2sin
A C2
A C2
sin
A C2
＝－3sin22m 2
2
A C2
＝
2
，
A C2
即：sin＝－
2m3(m 2)
2
，＝－
，代入sin2
A C2
＋cos2
＝1整理
得：3m4－16m－12＝0,解出m2＝6，代入cos
A C21
＝
22m 2
2
＝
22
。
【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“
cosA
＋
1cosC
＝－22”分别进行均值
换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以
1cosA
＋
1cosC
＝－
2cosB
＝－22，即cosA＋cosC
＝－22cosAcosC，和积互化得：
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