高中数学解题基本方法(10)
发布时间：2021-06-05
good
例3. 设非零复数a、b满足a2＋ab＋b2=0，求(【分析】 对已知式可以联想：变形为(
ab
aa b
)1998＋(
ab
ba b
)1998 。
)2＋(
ab
)＋1＝0，则＝ω （ω为1的立方
虚根）；或配方为(a＋b)2＝ab 。则代入所求式即得。
【解】由a2＋ab＋b2=0变形得：(设ω＝
a
ab
)2＋(
ab
)＋1＝0 ，
1
b
3
，则ω2＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝，ω3＝
b a
＝1。
又由a2＋ab＋b2=0变形得：(a＋b)2＝ab ，
aa b
ba b
所以 ()
1998
＋()
1998
＝(
a
2
ab
)
999
＋(
b
2
ab
)999＝(
ab
)999＋(
ba
)999＝ω
999
＋
999
＝2 。
【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计
算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。
【另解】由a2＋ab＋b2＝0变形得：(
ab
)2＋(
abba
)＋1＝0 ，解出
ba
＝
1
2
3i
后，
化成三角形式，代入所求表达式的变形式(
1
23i
ab
)999＋()999后，完成后面的运算。此方法用
于只是未联想到ω时进行解题。
假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a2＋ab＋b2＝0解出：a＝ 1
23i
b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛
定理完成最后的计算。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 函数y＝(x－a)2＋(x－b)2 （a、b为常数）的最小值为_____。
A. 8 B. (a b) C. a
2
2
2
b2
2
D.最小值不存在
2. α、β是方程x2－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1)2 +(β-1)2的最小值是_____。
A. －494 B. 8 C. 18 D.不存在
3. 已知x、y∈R，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2＋8有_____。
x
y
高中数学解题基本方法(10).doc
将本文的Word文档下载到电脑
