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(1＋2＋ ＋n)＝

n(n 1)

4

22

＋2³

n(n 1)(2n 1)

6

＋

n(n 1)

2

＝

n(n 1)12

(3n2＋11n＋

10)，综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。

例4. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？

【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。

【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm。 ∴ 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ， 显然:15－x>0，7－x>0，x>0。 设V＝

4ab

(15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0）

a b 1 0

要使用均值不等式，则

15a ax 7b bx x

解得：a＝

14

， b＝

34x4

， x＝3 。

15 3214

从而V＝

643

(

154

－)(

214

－

34

x)x≤

643

(

4

)3＝

643

³27＝576。

所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm3。

【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V＝

4ab

(15a－ax)(7－x)bx 或

4ab

(15－x)(7a－

ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题

也体现了“凑配法”和“函数思想”。

Ⅲ、巩固性题组：

1. 函数y＝logax的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，则a的取值范围是_____。

A. 2>a>1且a≠1 B. 0<a<1或1<a<2 C. 1<a<2 D. a>2或0<a<1

2

2

2

2. 方程x2＋px＋q＝0与x2＋qx＋p＝0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_____。

A. 1 B. －1 C. p＋q D. 无法确定 3. 如果函数y＝sin2x＋a²cos2x的图像关于直线x＝－π对称，那么a＝_____。

8

A.

2

B. －

1

2

2

C. 1 D. －1

n

4. 满足Cn＋1²Cn＋2²Cn＋ ＋n²Cn<500的最大正整数是_____。