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也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如 b c

下列式： a c 5 ，更容易求出a、b的值。

222a b c

【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何

确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式。

一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。

例3. 是否存在常数a、b、c，使得等式1²22＋2²32＋ ＋n(n＋1)2＝

n(n 1)12

(an2

＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 （89年全国高考题） 【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。

【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝＝

12

16

(a＋b＋c)；n＝2，得22

(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得： a b c 24 a 3

4a 2b c 44,解得 b 11， 9a 3b C 70 c 10

于是对n＝1、2、3，等式1²22＋2²32＋ ＋n(n＋1)2＝成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：

假设对n＝k时等式成立，即1²22＋2²32＋ ＋k(k＋1)2＝

2

2

2

n(n 1)12

(3n2＋11n＋10)

k(k 1)12

2

(3k2＋11k＋10)；

(3k2＋11k

当n＝k＋1时，1²2＋2²3＋ ＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝＋10) ＋(k＋1)(k＋2)2＝（3k2＋5k＋12k＋24）＝

k(k 1)

k(k 1)12

12

(k 1)(k 2)

12

(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)2＝

[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，

(k 1)(k 2)

12

也就是说，等式对n＝k＋1也成立。

综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。 【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列13＋23＋ ＋n3、12＋22＋ ＋n2求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n＋1)2＝n3＋2n2＋n得Sn＝1²2＋2²3＋ ＋n(n＋1)＝(1＋2＋ ＋n)＋2(1＋2＋ ＋n)＋

2

2

2

3

3

3

2

2

2