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第一章 相补问题的一般理论

1.1. 相补问题的产生

相补问题是由著名运筹学家，数学规划的创始人Dantzig和他的学生Cottle于1963年首先提出的. Cottle曾经指出过，线性规划与二次规划是线性相补问题的特例.线性相补问题还包括双矩阵对策问题，最优停止问题和市场均衡问题，非线性相补问题还包括了更多的数学问题，相补问题与最小值问题，极大极小问题，变分不等式问题，不动点理论等数学分支有着紧密的联系，相补问题也广泛应用于社会，经济，交通等领域，这就使得相补问题成为数学规划中一个热门的研究课题，相补问题是从线性规划与非线性规划的推广而形成的，它的研究分为理论与算法两个方面，前者主要研究解的存在性，唯一性与解的拓扑性质，以及相补问题与其它数学分支的联系，后者则主要建立不同类型的互补问题的求解方法及相应的算法理论分析，相补问题在研究过程中应用了非线性分析与拓扑学中的许多理论，同时又广泛应用于经济，交通，金融等领域，故它可被视为基础数学，应用数学和计算数学的一个交叉.相补问题被提出后，立即引起了应用数学界的广泛关注和浓厚兴趣，推动了相补问题的快速发展，特别是二十世纪90年代以来，人们对相补问题的研究达到了一个阶段性高潮（见文献[28],[29],[30],）

1.2. 相补问题的类型

（1）线性相补问题设 E,F 是一局部凸空间的一对偶系统，且K E是一闭凸锥，L:E E是连续线性映象.给定q F,线性补问题是：

LCP(L,K,q):求x0 K

,使得L(x0) q K*,且 x0,L(x0) q 0.

特别地，若E Rn,L Rn n是n n实矩阵，q Rn是n维向量，线性相补问题为：求x Rn,满足

x 0,Mx q 0,x(Mx q)

T

（2） 非线性相补问题 设 E,F 是一局部凸空间的一对偶系统，且K E是一闭凸锥，给定映象，f:K E*,一般的非线性相补问题是：

NCP(f,K):求x0 K

,使得f(x0) K*,且 x0,f(x0) 0.

线性相补问题是非线性相补问题的特例，非线性相补问题在优化理论中有着广泛的应用，它与变分不等式有着紧密的联系，非线性相补问题等价于下列变分不等式问题：