硕士毕业论文模板下载(16)

这是一篇优秀的硕士毕业论文,可供在校大学生和研究生参考

(GVVI)1:求x K,使 t F(x), y K, t,y x f(y) f(x) 0

(GVVI)2:求x K,使 y K(GVVI)3:求x K,使 y K

， t F(x), t,y x f(y) f(x) 0 ， t F(y), t,y x f(y) f(x) 0

我们记S1,S2,S3,为(GVVI)1,(GVVI)2,(GVVI)3的解集. 定理 2.3.1 F:K 2L(X,Y)\{ },f:K Y,则下列结论成立

(i)Sc S1 (ii)如果f

是正齐次的，则S1 Sc

t,x f(x) 0

, y K

t,y f(y) 0

证明：(i)让x SC,且存在一个t F(x)，使

t,y x t,y t,x f(x) f(y)， y K

有

即： t,y x f(y) f(x) 0， y K，于是x S1

(ii)让x S1,则x K,使 t F(x)K

， y K， t,y x

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f(y) f(x) 0

，由于

是凸锥，且f是正齐次的，分别让y 2x，y x，我们有

t,x f(x) 0

t,x f(x) 0

这蕴含 t,x f(x) 0，于是 t,y f(y) t,y x t,x f(y)

t,y x f(y) f(x) 0

，于是x Sc，证完

引理 2.3.1 A是向量空间中的凸集，B是Hausdorff拓扑向量空间中的紧凸集，假设g是A×B上的实值函数，对每个固定的a A，g(a,.)是下半连续的，在

B

上是凸的，又设对每个固定的b B,g(.,b)在A上是凹的，则

a A

a A

b B

minsupg(a,b) supming(a,b)

b B

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Abstract

证明： (i ) 显然 (ii ) 假设 F 是单调的，让 x ∈ S2 则 y ∈ K , t ∈ F ( x) ,< t , y x > + f ( y ) f ( x) ≥ 0 ,由于 F 是单调的，对每个 y ∈ K , t ∈ F ( y ) ,有 < t , y x > + f ( y ) f ( x) ≥ < t , y x > + f ( y ) f ( x) ≥ 0

因此 x ∈ S3(iii ) 让 x ∈ S3 , F 是 (u , h, c) 且 f 是 凸 的 ， 假 设 x S2 , 则 y ∈ K 和 所 有 的 t ∈ F ( x) ,有： < t , y x > + f ( y ) f ( x) < 0 . 记{t ∈ L( X , Y ), < t , y x > + f ( y ) f ( x) < 0} 是 F ( x) 的一个 w* 开邻域，由于 F 是 (u , h, c) 的，让 xλ = λ y + (1 λ ) x, λ → 0 ,于 是有 < tλ , y x > + f ( y ) f ( x) < 0 , tλ ∈ F ( x) ,由于 f 是凸的，于是有

f ( xλ ) f ( x) ≤ λ( f ( y ) f ( x)) ,从上面的假设有 < tλ , xλ x > + f ( xλ ) f ( x) < 0 , < tλ , λ ( y x) > + f ( xλ ) f ( x) ≤ λ[< tλ , y x > + f ( y ) f ( x)] < 0 , 这与 x ∈ S3 矛盾，于是 x ∈ S2(iv) 从 结 论 (i ) , 只 需 证 明 S 2 S1 , 让 x ∈ S2

y ∈ K , , 则 t ∈ F ( x) ,

< t , y x > + f ( y ) f ( x) ≥ 0 ,于是 y ∈ K , t ∈ F ( x) : < t , x y > + f ( x) f ( y ) ≤ 0 ,假设 F 是 w* 紧且凸的，

f 是凸的，让 g (a, b) = < b, x a > + f ( x) f (a ) . A = K , B = F ( x) ,于是sup min g (a, b) = sup min {< b, x a > + f ( x) f (a )} ≤ 0} , 对每个 a ∈ A ,容易看出a∈ A b∈B a∈K b∈F ( x )

g (a,.) 在 X * 上是 w* 连续的， B 上是凸的， 在 对每个固定的 b ∈ B , g (., b) 在 A 上是凹

的，根据引理 1.2b∈F ( x ) a∈K

min sup {< b, x a > + f ( x) f (a )} = min sup g (a, b) = sup min g (a, b) ≤ 0b∈B a∈ A a∈ A b∈B

于是 t ∈ F ( x) , y ∈ K ,< t , x y > + f ( x) f ( y ) ≤ 0 或者， t ∈ F ( x) , y ∈ K ,< t , y x > + f ( y ) f ( x) ≥ 0 ,即： x ∈ S1 ,证完

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定理 2.3.3 设F:K 2L(X,Y)\{ },是单调的，上半连续的，有w*紧凸值，

f:K Y是次线性的，则 (i)Sc S1 S2 S3 (ii)若F

是严格单调的且Si (i 1,2,3)，则Sc由一个点组成

证明: (i)显然

假设F(ii)从结论(i)Sc S1 S2 S3,因此只需证明S2由一个点组成，

是严格单

调的，且S2 ,让x1,x2是(GVVI)2的解，则x2 S3,于是x1 S2，

t1 F(x1):

t1,x2 x1 f(x2) f(x1) 0 (2.2.2 6

x2 S3: t2 F(x2):

t2,x1 x2 f(x1) f(x2) 0 (2.2.2 7

若，x1 x2,则由F的严格单调和有：

t2 F(x2): t2,x1 x2 f(x1) f(x2) 0

矛盾