中国科学院随机过程讲义

1t

Φξ(t)(v)=∑P{N(T)=k} ∫t Texp[jvh(y)]dy

k=0 T

∞

k

(λT)k λT

=∑e

k!k=0

∞

=e λTexpλ∫t Texp[jvh(y)]dy=expλ∫t T[exp(jvh(y)) 1]dy

t

t

{

1t

∫t Texp[jvh(y)]dy T

k

}{}

其持续时间τa<<T，同时认为t>τa，因此，在(t T,0)由于h(t)具有因果性，

和(t,T)内，有h(t)=0。因此我们得到：

Φξ(t)(v)=exp

{λ∫[exp(jvh(y)) 1]dy} （**）

T0

注意：在给定的假设条件下，随机过程ξ(t)的特征函数与t无关，也就是说

ξ(t)的一维概率密度与时间t无关，这样的随机过程称为一级严平稳过程，同理

可以证明，任取n∈N,0<t1<t2<L<tn

ξ(t1),ξ(t2),L,ξ(tn)的联合概率密

度仅与时间差t2 t1,t3 t2,L,tn tn 1有关，具有这样性质的随机过程称为严平稳过程，过滤的Poission过程就是严平稳过程。

另外，利用（**）式，我们有：

dΦξ(t)dv

v=0

=jλ∫0h(y)dy

T

由特征函数与随机变量数字特征的关系，我们有：

E{ξ(t)}=λ∫0h(y)dy

D{ξ(t)}=Var{ξ(t)}=λ∫0[h(y)]2dy

这些结果与（1）、（2）中所获得的结果是一致的。

（4） 当λ→∞时，特征函数的极限形式 我们记：

T

T

α=∫0h(y)dy,β=∫0[h(y)]2dy

2

TT

则有：

E{ξ(t)}=λα,Var{ξ(t)}=λβ2