中国科学院随机过程讲义

第三章 Poission过程（Poission信号流）

九、更新过程

（1） 概念及基本性质

定义：设{Xk,k≥1}是独立同分布，取值非负的随机变量，分布函数为F(x)，

n

且F(0)<1。令S0=0,S1=X1,Sn=∑Xk，对 t≥0，记：

k=1

N(t)=sup{n:Sn≤t}

则称{N(t),t≥0}为更新过程。

更新过程是一计数过程，并有：

{N(t)≥n}={Sn≤t}

{N(t)=n}={Sn≤t<Sn+1}={Sn≤t} {Sn+1≤t}

记：Fn(s)为Sn的分布函数，由Sn=∑Xk，易知：

k=1n

F1(x)=F(x)

Fn(x)=∫0Fn 1(x u)dF(u)(n≥2)

证明：由全概率公式有：

x

Fn(x)=P{Sn≤x}=P{Sn 1+Xn≤x}

=∫ ∞P{Sn 1≤x uXn=u}fX(u)du

n

∞

=∫0P{Sn 1≤x u}dF(u)=∫0P{Sn 1≤x u}dF(u)

=∫0Fn 1(x u)dF(u)=(Fn 1 f)(x)=(f Fn 1)(x)

即Fn(x)是F(x)的n重卷积，记作：Fn=Fn 1 F。

另外，记：

xx

∞