中国科学院随机过程讲义

m(t)=E{N(t)}

称m(t)为更新函数。关于更新函数，有以下重要的定理。

定理：对于 t≥0，有：

m(t)=∑Fn(t)

n=1

∞

证明：根据以上的关系式，计算得：

m(t)=∑nP{N(t)=n}=∑nP{N(t)=n}

n=0∞

n=1∞

∞∞

=∑∑P{N(t)=n}=∑∑P{N(t)=n}

n=1k=1∞

k=1n=k

n∞

=∑P{N(t)≥k}=∑P{N(t)≥n}

k=1∞

n=1

∞

=∑P{Sn≤t}

n=1

即有：

m(t)=∑Fn(t)

n=1

∞

推论：若对 t≥0，F(t)<1，则有：

m(t)≤F(t)(1 F(t)) 1

下面是重要的更新方程。

定理： t≥0，m(t)满足下列更新方程：

m(t)=F(t)+∫0m(t u)dF(u)

证明：由m(t)=∑Fn(t)，得：

n=1∞

t

m(t)=F(t)+∑Fn(t)

n=2

∞

将Fn(t)=∫0Fn 1(t u)dF(u)

t

(n≥2) 代入上式，即有所要的结果。