中国科学院随机过程讲义

ξ(t)=

N(T)i=1

∑h(t S) （*）

i

其中h(t)是滤波器的冲激响应，Si是第i个冲激脉冲出现的时刻，N(T)是[0,T]内进入滤波器输入端冲激脉冲的个数，它服从Poission分布，即：

(λT)k λT

P{N(T)=k}=e,k=0,1,2,L

k!

λ是单位时间内的平均脉冲数。我们称由（*）代表的随机过程为过滤的Poission

过程。

设Y1,Y2,L,Yk是独立同分布的随机变量，并且Y1~U(0,T)，由上节课的内

容我们知道，在N(T)=k的条件下，S1,S2,L,Sk的分布与Y1,Y2,L,Yk的顺序统计量Y(1),Y(2),L,Y(k)的分布是一样的。

给定关于过滤的Poission过程的一些基本假设：（a）T比h(t)的脉冲持续时

间τa大得多，即T>>τa；（b）h(t)是具有因果性的滤波器响应，即t<Si时，

h(t Si)=0；（c）被研究的时刻t大于h(t)的脉冲持续时间τa，即t>τa。

下面研究过滤的Poission过程的一些统计特性。 （1）ξ(t)的均值

ξ(t)N(T)=k}E{ξ(t)}=∑P{N(T)=k}E{

k=0∞

k

=∑P{N(T)=k}E ∑h(t Si)

k=0 i=1

∞

[]Eh(tS)=∑P{N(T)=k} ∑ i

k=0 i=1

k

=∑P{N(T)=k} ∑E[h(t Yi)] i=1 k=0

∞

∞k

下面求E[h(t Yi)]：利用过滤的Poission过程的基本假设，有：

1T1t1T

E[h(t Yi)]=∫0h(t x)dx=∫t Th(y)dy=∫0h(y)dy

TTT

因此，我们有：