中国科学院随机过程讲义

记：N(∞)=limN(t)，则有：

t→∞

定理：P{N(∞)=∞}=1。 定理：P lim

t→∞

N(t)1

= =1 tµ

证明：由于：

SN(t)≤t<SN(t)+1

SN(t)N(t)

≤

StN(t)+1

<N(t)+1 N(t)N(t)+1N(t)

由以上的定理，两边取极限，我们可以得到：

N(t)1 P lim= =1

µ t→∞t

由此定理，我们称

1

µ

为更新过程的速率。

m(t)1

定理：（基本更新定理）若µ=E{Xn}<∞，则有：lim=。

t→∞tµ

（3） 例子

例1：设X1,X2,L,Xn,L是独立同分布，非负取值的随机变量，且有：

P{Xn=i}=p(1 p)i 1

求P{N(t)=n}。

例2：某更新过程的更新强度为：

i≥1

λ,t≥0,λ>0

λ(t)=

t<0 0,

求该更新过程{N(t),t≥0}的时间间隔Xn的概率密度。

十、过滤的Poission过程

定义：设有一Poission分布的冲激脉冲串经过一线性时不变滤波器，则滤波器输出是一随机过程{ξ(t),t≥0}，即