实变函数论课后答案第五章1(9)

实变函数论课后答案

也可这样看m(B(0,r0 r)) mB(0,r0) 0， R r 0

B(0,R) IR x (x1,x2, ,xn) Rn; R xi R ，而

I

x (x1,x2, ,xn) Rn; xi B(0,r)，故

B(0,R)\B(0,r)

IR\I

n 2nRn 2nnm(B(0,R)\B(0,r)) m(IR\I) m(IR) m(I) (2R)n 得不出结果！

则0 F(r0 r) F(r0) 0 当r 0时

|F(r0 r) F(r)| F(r) F(r0 r) M(wn(r0)n wn(r0 r)n] 0

则F(r)是连续的

对一般可测函数f(x)，令fm(x)

f(x),f(x) M

min(f(x),m)，则

m ,f(x) M

0 fN可测于E，且fN(x) f(x)于E，fN单调不减，故由Levi定理知

m

lim fmdx f(x)dx

E

E

0, N( )，使0 f(x)dx fN(x)dx [f(x) fN(x)]dx

E

E

E

6

对上述固定的N N( )，FN(r)

E[x|||x|| r]

fN(x)dx是连续于(0, )上的

则r0 (0, ), ( ,r,N( )) ( ,r) 0，当|r r0| 时

|FN(r) FN(r0)|

3

则当|r r0| 时

123

|F(r) F(r0)| |F(r) FN(r)| |FN(r) FN(r0)| |FN(r0) F(r0)| IN IN IN

I1N |F(r) FN(r)| |

E[x|||x|| r]

f(x)dx

E[x|||x|| r]

fN(x)dx| |

E[x|||x|| r]

(f(x) fN(x))dx|