实变函数论课后答案第五章1(8)

实变函数论课后答案

证明：由本节习题5知 f(x)dx ，mE

E

则 2kmE[x|f(x) 2k] ，故

k 0

lim2kmE[x|f(x) 2k] 0 n

(1)

inm mn e反证设ln

，则 0 0,k N ,kn使 nk men 0，

k

k N, ik N使

2ik nk 2ik 1，所以enk e2ik,显然从nk 知2ik

0 nk men 2i 1me2 2 2ime2 0(k )得矛盾

k

k

ik

k

ik

n men 0 所以lim

n

9．设f(x)是E上的非负可测函数， f(x)dx ，对任意的r 0，令

E

F(r)

E[x|||x|| r]

f(x)dx

证明：F(r)是(0, )上的连续函数

证明：E[x|||x|| r] E B(0,r)显然为可测集；又f(x)在E上非负可测，故 r 0，f在Er E[x|||x|| r]上也可测，且0 f(x)dx f(x)dx ，

Er

E

故F(r)是(0, )上有定义的函数

1）

先设0 f(x) M 于E上，此时 r0 0, r 0有

E[x|r0 ||x|| r0 r]

0 F(r0 r) F(r0)

f(x)d

MmE[x;r0 ||x|| r0 r] Mm[B(0,r0 r)\B(0,r0)]

M(m(B(0,r0 r))\mB(0,r0)) M(wn(r0 r)n wn(r0)n] 0

（当r 0）

n

这里mB(0,r) wnr最好是用mB(0,r) (R)

B(0,r)

1dx wnrn来看.（下一

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