实变函数论课后答案第五章1(2)

实变函数论课后答案

测(P104定理3),且

[0,1]

R(x)dx

[0,1] Q

R(x)dx R(x)dx

Q

而0 R(x)dx 1dx mQ 0(Q可数,故m*Q 0)故

Q

Q

[0,1]

R(x)dx

[0,1] Q

R(x)dx

[0,1] Q

0dx 0

2.证明定理1(iii)中的第一式

证明:要证的是:若mE ,f(x),g(x)都是E上的非负有界函数,则 f(x)dx f(x)dx g(x)dx

E

E

下面证明之: 0,有下积分的定义,有E的两个划分D1和D2使 sD(f)

1

E

f(x)dx

2

,sD(g)

2

E

g(x)dx

2

此处sD(f),sD(g)分别是f关于D1和g关于D2的小和数,合并D1,D2

1

2

而成E的一个更细密的划分D,则当sD(f g)为f(x) g(x)关于D的小和数时

(f(x) g(x))dx s

D

(f g) sDf sDg sD1f sD2g

E

f(x)dx g(x)dx f(x)dx g(x)dx (用到下确界的性

2 E2 E

E

质和P125引理1)

由 的任意性,令 0,而得 (f(x) g(x))dx f(x)dx g(x)dx

E

E

3.补作定理5中 f(x)dx 的情形的详细证明

E

证明

E

:令

m

Em

Em E x|||x|| m

,当

f(x)dx

E

时,

f(x)dx lim

f(x)dx

M 0,存在m0 m0(M) N,当m m0时,