实变函数论课后答案第五章1(18)

实变函数论课后答案

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lim (x)dx f(x)dx n n c[ca t c,cb t][ca t,cb t]

接做第13题：已证得I [0,mE]，mE[x,b f(x) a] mI[x,b g(y) a] 下证 f(x)dx

E

[0,mE]

g(y)dy

类似第6题，用Levi定理证：

m N，及k 0,1, ,2m 1, ，令

Em,k E[x;Fm,k

kk 1 f(x) ] 2m2mkk 1 I[y;m f(x) m]

22

Em,2m E[x;f(x) m] Fm,2m I[y;g(y) m]

Em,k，I Fm,k，Em,k互不相交，Fm,k互不相交。 则E k 0k 0

m2

kk

m(y) m Fm,k(y) 令 m(x) m Em,k(x)，

k 02k 02

m2m

m

m2mm2m

m(y)是I [0,mE]上的非负简单函数。则 m(x)是E上的非负简单函数， m(y) m(y) g(y)(m )（ m(x)单调不减， m(x) f(x)(m )，

关于m单调不减）

mEm,k mFm,k

m2

kk

m y dy xdx mE mFm,k mm,kmm 22k 0k 0E 0,mE

m2m

m

故由Levi定理，得

f(x)dx

E

m

lim m(x)dx lim

E

m

[0,mE]

m(y)dy

[0,mE]

g(y)dy

证毕。

g(y) f*(y) inf{f;uf(s) y}称为f的Non-increasing arangment