实变函数论课后答案第五章1(16)

实变函数论课后答案

m 上（ m）即 (f(x) [f(x)]m)dx 0，而f(x) [f(x)]，由此可知 0于E E

0（本节第4题） mE

（Lemma：若g 0可测于可测集E上， g(x)dx 0，则mE 0

E

11

g(x) ],F E[x|g(x) 1]，则 E Fk F ，证明：令Fk E[x| k 1k k 1

k N

1

mFk g(x)dx g(x)dx 0,mFk 0 k 1FkE

0 mF

F

g(x)dx g(x)dx 0,mF

E

0

则mE mFk mF 0）

k 1

由此可知，f(x)

1，于E1上

c

0，a.e于E上 1

1， x E1

0， x E1

所以对几乎处处x E有f(x) E(x)

1

16．证明：如果f(x)是E上的可测函数，则对于任意常数a 0都有 mE[x||f(x) a|]

1

|f(x)|dx aE

E

mE[x|f(x) a] e a expf(x)dx 证明： |f(x)|dx

E

E[x||f(x) a|]

|f(x)|dx amE[x||f(x) a|]

则 mE[x||f(x) a|]

1

|f(x)|dx aE

又若x E，则f(x) a ef(x) ea，故E[x|f(x) a] E[x|expf(x) ea]，从而由前一部分结果知

mE[x|f(x) a] mE[x|expf(x) ea] mE[x||expf(x) ea|] e a |expf(x)|dx e a expf(x)dx

E

E