实变函数论课后答案第五章1(7)

实变函数论课后答案

(n)(n)(n)

0 g0 g1 gk M,n 1,2, 使

n

max yi(n) yi(n 1)|i 1,2, ,kn ln 0(n )，

n)(n)n(n)Ei(n) E[x|yi( f(x) y], E,2, ,kn;n 1,2,3, 证明： 1iii,i 1

kn

f(x)dx lim f( in)mEi(n)

E

n

i 1

证明：显然，由f可测于E知，Ei(n)是可测集（ 1 i kn,n N）且

(n)(n)n)(n)

E Ei(n)，又在Ei(n)上yi( f(x) supf(x) yi1 f(x) yi表明yi 1 inf(n)

i 1kn

x Eikn

x Ei(n)

记SD supf(x)mE （大和数），sD inff(x)mEi(n) （小

n

(n)

i 1x Ei

kn

(n)i

n

i 1

x Ei(n)

和数）

则从f(x)有界可测知f(x)在E上可积（P129Th2），故

sDn f(x)dx

Ekn

n

i

E

f(x)dx f(x)dx SDn ，又从 in Ei(n)知

E

sDn f( )mE

i 1

(n)i

supf(x)mEi(n) SDn

(n)

i 1x Ei

kn

sDn SDn f(x)dx f( in)mEi(n) SDn sDn

E

i 1

kn

，

mEi( ln mEi

n1

i

n

则

n

| fxdx f (mE

ni

E

i 1

kn

(ni

SDn )sDn yi y

)

n

i

kk

n

i 1

ln)mE

(

n

n

|

1

（从ln 0知）

故 f(x)dx lim f( in)mEi(n)

E

n

i 1kn

8．设mE ，f(x)是E上的非负可测函数，

en E[x;f(x) n]，证明：

limn men 0

n

f(x)dx ，

E