实变函数论课后答案第五章1(4)
时间：2026-01-17
实变函数论课后答案
E[x|f(x) 1] En,Ei Ej 当i j，f非负，故从mE 知
n 0
0
E[x|f(x) 1]
f(x)dx ，而 f(x)dx
E
E[x|0 f(x) 1]
f(x)dx
E[x|f(x) 1]
f(x)dx
f(x)dx
E
E[x|f(x) 1]
f(x)dx
注意由单调收敛定理和f(x) 0可测知
E[x|f(x) 1]
f(x)dx
n 0
En
f(x)dx
lim
Ein
i 0
n
f(x)dx
E
(x)f(x)dx lim n(x)f(x)dx
n lim Ei EiEn
ni 0
i 0
LeviTh
lim n(x)f(x)dx lim
n n
E Ei
i 0
i 0
n
Ei
f(x)dx lim f(x)dx f(x)dx
n
i 0Ei
i 0Ei
n
2dx 2
i 1
i 0Ei
n 0
n 1
mEn 2 2mEn 2 2mFn 2 2nE[x|f(x) 2n]
n
n
n 0
n 0
n 0
所以，若 2kmE[x|f(x) 2k] ，则有
k 0
E[x;f(x) 1]
f(x)dx
则 f(x)dx ，故充分性成立.
E
为证必要性，注意Fk Ei,mFk mEi，令 kn {
i k
i k
n
n
n
n
n
nk
10
若k n若k n
n
，则
nk
2mE[x|f(x) 2] 2mF 2 mE 2 mE 2 mE
n
k
k
n 0
n 0
n 0
k n
n 0k n
n 0k 0
k
2k 1 1
2 mEk 2mEk mEk 2 mEk
2 1k 0n 0k 0n 0k 0n 0k 0
n
n
k
k
n
n
mEk(2
k 0
k 1
1) 2
k 0
k 1
mEk mEk 2 2mEk m( Ek)
k
k 0
k 0
k 0
2 2mEk m[E[x;f(x) 1]] 2 f(x)dx
kk 0
k 0Ek
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