实变函数论课后答案第五章1

实变函数论课后答案

实变函数论课后答案第五章1

第无章第一节习题

le数D(x)和Riemann函数R(x)计算]的Dirich函1.试就[0,1上

[0,1]

D(x)dx和

[0,1]

R(x)dx

x Q 11

RQ即 (为上全体有理数D(x) (x)Q1

0x R\Q

解:回忆D(x) 之集合)

回忆: E(x)可测 E为可测集和P129定理2:若E是Rn中测度有

_

限的可测集, f(x)是E上的非负有界函数,则 f(x)dx f(x)dx f(x)

E

为E上的可测函数

显然, Q可数，则m*Q 0，Q可测， Q(x)可测，有界,从而Lebesgue可积

由P134Th4(2)知

[0,1]

Q(x)dx

[0,1] Q

Q(x)dx

[0,1] Qc

Q(x)dx

[0,1] Q

1dx

[0,1] Qc

0dx

1 m([0,1] Q) 0 m([0,1] Qc) 1 0 0 1 0 回忆Riemann函数R(x):R:[0,1] R1

1 n R(x) 1

0

x

n

,m和n无大于1的公因子mx 0x [0,1] Q

在数学分析中我们知道, R(x)在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann可积, R(x) 0

a.e于[0,1]上,故R(x)可