实变函数论课后答案第五章1(6)

实变函数论课后答案

证明：若存在b 0使E[x|f(x) b] ，则 f(x)dx g()xdx 结论成

E

E

立.

故 b a，a,b R1，E[x|f(x) b] ，则

E[x|f(x) a] E[x|f(x) b] E[x|a f(x) b]

mE[x|a f(x) b] mE[x|f(x) a] mE[x|f(x) b]

mE[x;g(x) a] mE[x;g(x) b] mE[x;a g(x) b]

m N，及k 0,1,2, ,2m 1，令Em,k E[x|

Em,m2m E[x|f(x) m]则

kk 1

f(x) ]及 mm22

E Em,k ，Em,k互不相交

k 0

m2m

同样Em,k

m2

kk 1 ， E[x|m g(x) m],Em,m2m E[x|g(x) m]，E Em,k22k 0

m

互不相交 Em,k

m2kk (x)都是非 (x) 令 m(x) m Em,k(x), ~(x)，则 m(x)， mmm

Em,k

k 02k 02

m2m

m

(x) 均为单调不减关于m， (x) f(x)，负简单函数，且 m(x) , mm (x) g(x) m

注

m(Em,k) mE[x|

意

kk 1kk 1 ) f(x) ] mE[x| g(x) ] m(Em,kmmmm2222

m2m

m

到

m2

kk ) (x)dx 故 m(x)dx mm(Em,k) mm(Em,km 22k 0k 0EE

(x)dx g(x)dx 故由Levi定理知 f(x)dx lim m(x)dx lim m

E

n

E

n

E

E

7．设mE ，f(x)是E上的有界非负可测函数，0 f(x) M，