实变函数论课后答案第五章1(3)

实变函数论课后答案

2M

Em

f(x)dx lim [f(x)]kdx

k

Em

fn(x)]kdx lim[fn(x)]kdx 则存在k使M [f(x)]kdx [limn n

Em

Em

Em

lim [fn(x)]kdx lim

n

Em

n

Em

fn(x)dx lim fn(x)dx

n

E

(利用 [fn(x)]kdx有限时的结论,Th5中已详证)

Em

由M的任意性知lim fn(x)dx f(x)dx 证毕.

n

E

E

4.证明:若f(x)是E上的非负函数, f(x)dx 0,则f(x) 0

E

a.e

证明:令En [x|n f(x) n 1],n 1,2, ,Fm [x| 则E[x|f(x) 0] ( En) ( Fn)

n 1

n 1

1

f(x) 1] m

f可测，故En,Fm,E[x|f(x) 0]（n 1,2, ;m 1,2, ）都是可测集，

由P135Th4(2)和 f(x)dx 0，f(x)非负知

E

0 f(x)dx

E

E[x;f(x) 0]

f(x)dx

En

f(x)dx n dx nmE

En

n

0

故mEn 0,(n 1,2, )；同理mFm 0,(m 1,2, ) 故mE[x|f(x) 0] mEn mFm 0

n 1

m 1

故从f(x)非负，E[x|f(x) 0] E E[x|f(x) 0]，知f(x) 0证毕.

a.e

于E.

5．证明：当mE 时，E上的非负函数的积分 f(x)dx 的充要条

E

件是

2kmE[x|f(x) 2k]

k 0

证明：令Ek E[x|f( x)k2] k,

k 0,1,2,

0,，1En E[x|2n f(x) 2n 1]，