第二章 赋范线性空间-黎永锦(9)

定义2.2.1 设X是线性空间,|| ||1和||| ||2是X上的两个不同范数,若对X中的序列

{xn},当||xn x0||1 0时,必有||xn x0||2 0,则称范数|| ||1比范数|| ||2强,亦称|| ||2

比|| ||1弱.

若对X中的序列{xn},||xn x0||1 0当且仅当||xn x0||2 0则称范数|| ||1与

|| ||2等价.

定理2.2.1 设|| ||1和|| ||2是线性空间X上的两个不同范数,则范数|| ||1比|| ||2强当且仅当存在常数C 0,使得对任意x X都有||x||2 C||x||1.

证明 若存在C 0,使||x||2 C||x||1,则明显地||xn x||1 0时,有

||xn x||2 C||xn x||1 0,因而|| ||1比|| ||2强.

反过来,若范数|| ||1比|| ||2强,则必有C 0,使||x||2 C||x||1. 若不然,则对任意自然数n,存在xn X,使||xn||2 n||xn||1. 令yn

xn

,则

||xn||2

||yn||1

||xn||11

||xn||2n

||xn||2

1矛盾,所以必存在

||xn||2

故||yn 0||1 0,因而||yn 0||2 0,但这与||yn 0||2

C 0,使||x||2 C||x||1,对任意x X成立.

推论2.2.2 设|| ||1与|| ||2是线性空间X上的两个不同范数,则范数|| ||1与|| ||2等价当且仅当存在常数C1 0,C2 0,使得对任意x X,有

C1||x||1 ||x||2 C2||x||1

推论2.2.3 设|| ||1与|| ||2是线性空间X上的两个等价范数,则(X,|| ||1)是Banach空间当且仅当(X,|| ||2)是Banach空间.