第二章 赋范线性空间-黎永锦(6)

在数学分析中绝对收敛的级数一定是收敛的,但在赋范空间上却不一定成立,先来看看下面一个定理.

定理2.1.10 设(X,|| ||)是赋范线性空间,则(X,|| ||)是Banach空间的充要条件为X的每一绝对收敛级数都收敛.

证明 设(X,|| ||)是Banach空间,且

x

n 1

n

绝对收敛,则由

||x

n 1

n

|| 可知,

对于Sn x1 x2 xn,有

||Sn p Sn|| ||xn 1 xn p|| ||xn 1|| ||xn p|| 0(n ),

因此Sn是X的Cauchy列,由(X,|| ||)的完备性可知,存在x X使limSn x,即

n

x

n 1

n

x

反之,设X的每一个绝对收敛级数都收敛,则对于X的Cauchy列xn,对 k

1,有 2k

n1 n2 nk nk 1 , 使得

||xnk 1 xnk||

12k

(k 1,2, )

因而

||x

n 1

nk 1

xnk|| .

由假设可知

(x

n 1

nk 1

xnk) 收敛于某个x X,即{xnk}收敛x,所以xn必收敛于

x,从而(X,|| ||)完备.

事实上,在实数空间R中,正是由于R的完备性才保证了绝对收敛级数一定是收敛的.

定义2.1.6 设(X,|| ||)是赋范线性空间,若M X是X的线性子空间,则称(M,|| ||)为(X,|| ||)的子空间,若M还是(X,|| ||)的闭集, 则称(M,|| ||)为(X,|| ||)的闭子空间.

明显地,若(X,|| ||)是Banach空间,M为(X,|| ||)的闭子空间,则(M,|| ||)是

Banach空间,反之亦然.