第二章 赋范线性空间-黎永锦(11)

|f( ) f( )| |||

||

e|| || e|||

ii

ii

n 1n

i 1

nn

e e||

ii

ii

i 1

i 1

n

i

n

|

i 1ni 1

i|||ei|| i

1n22|)(122|)

(

|

ni 1

i

||e

i 1

i

122||)

M(

n

12

|

i

i

这里M (

||e

n 1

i

||),因此f是Kn到R的连续函数.

n

12

2

n

由于K的单位球面S {( i) K|(

n

|

i 1

i

|2) 1}是紧集,因此f在S上达到上

下确界,即存在 0 ( i), 0 ( i) S,使得

(0)(0)

f( 0) inf{f( )| S} C1 f( 0) sup{f( )| S} C2

因此对任 ( i) K,有

n

|| ||Kn

故

(

|

i 1

n

i

122|)

S

C1 f(

即

) C2

|| ||K

n

C1( | i|) || 1e1 nen|| C2( | i|)

2

2

i 1

i 1

n

12

n

12

下面证明C1 0,容易知道C2 0的证法是类似的.

假设C1 0,则有f( 0) ||

n 1

n

(0)i

ei|| 0,故