第二章 赋范线性空间-黎永锦(15)

对于无穷维赋范线性空间X的紧集的刻画,就比较困难.在C[0,1]中,容易看出

A {f(x)||f(x)| 1} C[0,1]是C[0,1]的有界闭集,但不是紧集.为了讨论C[0,1]子集的紧性,

需要等度连续的概念,它是由Ascoli和Arzelà同时引入的.

定义2.2.3 设A C[0,1],若对任意的 0,都存在 0,使得对任意的f A,任意的

x,y [0,1],|x y| 时,一定有|f(x) f(y)| ,则称A是等度连续的.

Ascoli给出了A C[0,1]是紧的充分条件, Arzelà在1895年给出了A C[0,1]是紧的必要条件,并给出了清楚的表达.

定理2.2.11 (Arzelà-Ascoli 定理) 设A C[0,1],则是紧的当且仅当A是有界闭集, 且A是等度连续的.

2.3 Schauder基与可分性

一个Banach空间,如果想把它看作序列空间来处理,最好的办法是引入坐标系,常用的方法是引入基的概念, Schauder基是J.Schauder[ZurTheoriestetigerinFun

ktionalraumen,MathematischeZeitschrift,26(1927)pp.47 65.]引入的.

定义2.3.1 Banach空间(X,|| ||)中的序列{xn}称为X的Schauder基,若存在对于任意x X,都存在唯一数列{an} K,使得

x

n 1

nxn

容易看到,有限维赋范线性空间一定具有Schauder基.

例2.3.1 在l1中令en (0, ,0,1,0, ),则{en}为l1的Schauder基,明显地,在

c0,c,lp(1 0 )中,{en}都是Schauder基.

J.Schaud在e1928年还在C[0,1]中构造一组基,因而C[0,1]也具有Schauder基. 具有Schauder基的Banach空间具有许多较好的性质,它与Banach空间的可分性有着密切联系.