第二章 赋范线性空间-黎永锦(16)

定义2.3.2 (X,|| ||)是赋范线性空间,若存在可数集M X,使得M X,即可数集在

X中稠密,则称X是可分的.

若(X,|| ||)可分,则存在可数集{xn} X,使得对任意x X及任意 0,都有某个

xn {xn},满足||xn x|| .

例2.3.2 由于有理数集Q是可数集,且Q R,因此R是可分的.类似地,Rn也是可分的赋范空间.

例2.3.3 对于1 p ,lp都是可分的,因为取M {(xi)|存在N,使得i N时，

xi 0,并且i N时,xi都是有理数},则M是可数集,并且M lp.实际上,对任意

x lp,由( |xi|) 可知,对任意 0,存在N,使得

p

i 1

1

p

i N 1

|x|

i

p

p

2

, 取有理数

q1,q2, qN,使 |qi xi|

p

i 1

N

p

2

,则x (q1,q2, qN,0 0) M,且

1p

x x ( |qi xi|p

i 1

N

i N 1

|x

i

|p) ,因此M lp,所以lp是可分的.

例2.3.4 由Weierstrass逼近定理可知对任意x C[a,b],必有多项式pn x 0,取

M为[a,b]上有理系数的多项式全体,则M是可数集,且M C[a,b],因而C[a,b]是可分

的赋范线性空间.

定理2.3.5 若(X,|| ||)赋范空间有Schauder基,则X一定可分的. 证明 为了简明些,这里只证明(X,|| ||)为实的情形.

设{ei}为X的Schauder基,则任意x X有x

n

ae

i 1

ii

,这里ai R.

令M {

qe

i 1

ii

|n N,qi Q},则M是可数集,且对任意x X及任意 0,存在

x M,

使得x x ,因此M X,所以M为可分的赋范空间.