第二章 赋范线性空间-黎永锦(20)

|f(x)| |limxi| ||x||

i

所以f为c上的有界线性泛函.

对于赋范线性空间的线性泛函而言,有界性与连续性是等价的,S.Banach在1929年证明了每一个连续可加泛函（线性连续泛函）都是有界的.

定理2.4.6 设X是赋范线性空间,则X上的线性泛函是连续的当且仅当f是有界的. 证明 若f是有界的,则由上面定理可知存在M 0,使得|f(x)| M||x||,因此当

xn x时,有f(xn) f(x),即f为连续的.

反之,假设f为连续线性泛函,但f是无界的,则对任意自然数n,存在xn X,使得

|f(xn)| n||xn||

令yn

1xn

,y0 0,则||yn y0|| 0,由f的连续性可知f(yn) f(y0),但n||xn||nf(xn)

1,f(y0) 0,从而 |f(yn) f(y0)| 1,但这与f(yn) f(y0)矛盾.

n||xn||

f(yn)

所以f为连续线性泛函时,f一定是有界的.

线性泛函的连续性还可以利用f的零空间是闭集来刻画.

定理2.4.7 设X是赋范线性空间,则X上的线性泛函是连续的当且仅当

N(f) {x|f(x) 0}为X的闭线性子空间.

证明 明显地N(f)为线性子空间,因此只须证N(f)是闭的.

若f是连续线性泛函,则当xn N(f),xn x时,必有f(xn) f(x),因而

f(x) 0,即x N(f),所以N(f)是闭子空间.

反之,若N(f)是闭的,但f不是有界的,则对于任意正整数n,有xn X,使

|f(xn)| n||xn||