第二章 赋范线性空间-黎永锦(10)

思考题2.2.1 若|| ||1与|| ||2是线性空间X上的两个不同范数,且(X,|| ||1)和

(X,|| ||2)都是Banach空间,是否就一定有|| ||1与|| ||2等价呢？

定义2.2.2 设X是n维线性空间,|| ||是X上的范数,则称

(X,|| ||)为n维赋范线性空间.

有限维赋范线性空间是Minkowski在1896年引入的,因此有限维赋范线性空间也称为Minkowski空间.

若(X,|| ||)为n维线性空间,e1,e2, ,en为X的一组

线性无关组,则称e1,e2, ,en为(X,|| ||) 的Hamel基,此时对任意x X,x都可以唯一地表示成x

e

iin 1

n

定理2.2.4 设(X,|| ||)是n维线性空间e1,e2, ,en是X的Hamel基,则存在常数C1及C2 0使得

C1( | i|) ||x|| C2( | i|)

2

2

i 1

i 1

n

1

2

n

12

对任意x

e都成立.

iin 1

n

n

证明 对于任意 ( i) K,定义函数

f( ) ||

n

n

e||

iin 1

n

则对任意 ( i) K, ( i) K,有