第二章 赋范线性空间-黎永锦(3)

(2) d( x,0) | |d(x,0),对任意x X和任意 K.

下面举出赋范线性空间的一些例子.

例2.1.3 对于l1 {(xi)|xi K,是赋范线性空间.

例2.1.4 对于1 p ,lp {(xi)|xi K,

|x

i 1

i

| },||x|| |xi|是l1的范数, 即(l1,|| ||)

i 1

|x

i 1p

i

|p }在范数

||x|| ( |xi|)

i 1

1p

下是赋范线性空间.

例2.1.5 l {(xi)|xi K,sup|xi| }在范数||x|| sup|xi|下是赋范线性空间. 例2.1.6 c0 {(xi)|xi K,limxi 0}在范数||x|| sup|xi|下是赋范线性空间.

i

},在范数||x|| sup|x(t)|下是赋范例2.1.7 C[a,b] {x(t)|x(t)为[a,b]上的连续函数

线性空间.

由于赋范线性空间在度量d(x,y) ||x y||下是度量空间,因此,在度量所引入的序列收敛,开(闭)集、稠密和紧集等概念都可以在赋范线性空间中使用.

定义2.1.2 设X是赋范空间{xn} X,x0 X, 若xn依度量d(x,y) ||x y||收敛于x0, 即lim||xn x0|| 0,则称xn依范数|| ||收敛于x0,记为

n

|| ||

xn x0

在赋范线性空间中,仍然用U(x0,r) {x X|||x x0|| r}记以x0为球心,r为半径的开球,用B(x0,r) {x X|||x x0|| r}记以x0为球心,r为半径的闭球. 为了方便,用

SX {x X|||x|| 1}记以0为球心,1为半径的闭单位球面. 用BX {x X|||x|| 1}记

以0为球心,1为半径的闭单位球. 用UX {x X|||x|| 1}记以0为球心,1为半径的开单位球.

例2.1.8 在Euclid空间R中,对于x (x1,x2)可以定义几种不同的范数:

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