第二章 赋范线性空间-黎永锦(2)

(3) ||x y|| ||x|| ||y||,对任意x,y X .

则称|| ||为X上的范数,而||x||称为x的范数,这时称(X,|| ||)为赋范线性空间.

明显地,若(X,|| ||)为赋范线性空间,则对任意x,y X,定义d(x,y) ||x y||时,(X,d)为度量空间,但对一般的度量空间(X,d),当X为线性空间时,若定义

||x|| d(x,0),则||x||不一定就是X上的范数.

例2.1.1 设s数列全体,则明显地,s为线性空间,对任意的x,y s, 定义

d(x,y)

i 1

|xi yi|

i!(1 |xi yi|)

则

d(x,0)

i!(1 |x|)

i 1

i

|xi|

但

d( x,0)

i 1

| ||xi|

| |d(x,0)

i!(1 | ||xi|)

取x0 (1,0, ,0), 0

1,则 2

d( 0x0,0)

而

11 12

1 3

111

| 0|d(x0,0)

224

因此

d( 0x0,0) | 0|d(x0,0)

所以,d(x0,0)不是s上的范数.

问题2.1.1 对于线性空间X上的度量d, 它满足什么条件时,||x|| d(x,0)才能成为范数？

定理2.1.2 设X是线性空间,d是X上的度量,在X上规定||x|| d(x,0),则X成为赋范线性空间的条件是：

(1) d(x,y) d(x y,0),对任意x,y X ；