第二章 赋范线性空间-黎永锦(17)

对于复赋范空间(X,|| ||),可令M {

(q ip)e|n N,q,p

i

i

i

i

i 1

n

i

Q},证明是类似的.

问题2.3.1 是否每个赋范空间都具有Schauder基？ 例2.3.6 赋范空间l 没有Schauder基.

由于l 不可分,因而一定没有Schaud基e.事实上,假设l 可分,则存在

xm (xi

令

(m)

) l ,使得X {xm}.

(i)(i)

xi 1,当 |xi| 1 时； (i)

0，当 |x| 1 时.i

xi

则sup|xi

(0)

(0)

| 1 1 2,即x0 (xi

(0)

) l ,并且

(m)(0)

||xm x0|| sup|xi(m) xi(0)| |xm xm| 1

1 i

所以{xm}不存在任何收敛子列收敛于x0,故x0 {xm},从而X {xm},但这与假设

l {xm}矛盾,因此l 不可分.

另外,还再进一考虑下面的问题：

问题2.3.2 是否每个可分的赋范空间都具有Schauder基？

上面问题自从S. Banach在1932年提出后,很多数学家为解决这一问题做了很多的努力,由于常见的可分Banach空间,如c0,l1等都具有Schauder基，因此大家都以为问题的答案是肯定的,但所有的努力都失败了,大家才倾向于问题的答案是否定的.P.Enflo在1972年举出了一个例子,它是可分的赋范空间,但不具有Schaude基r[A counterexample to the approximation problem in Banach spaces. Acta Math. 130(1973), 309-317.]

2.4 线性连续泛函与Hah 定理nBanach

S.Banach1929年引进共轭空间这一重要概念,这也就是赋范线性空间上的全体有界线

性泛函组成的线性空间,在这个线性空间上取泛函在单位球面的上界为范数,则共轭空间是完