第二章 赋范线性空间-黎永锦(18)

备的赋范线性空间. S.Banach还证明了每一连续线性泛函是有界的,但最重要的是和H.Hahn各自独立得到的一个定理,这就是泛函分析中最著名的基本定理,即S.Banach

Hahn Banach定理,它保证了赋范线性空间上一定有足够多的连续线性泛函.

泛函这名称属于Hadamard,他是由于变分问题上的原因研究泛函.

定义2.4.1 设(X,|| ||)是赋范线性空间,f为X到K的映射,且对于任意x,y X及

, K,有

f( x y) f(x) f(y)

则称f为X的线性泛函.

例2.4.1 在l 上,若定义f(x) x1,则f为l 上的线性泛函.

由于线性泛函具有可加性,因此,线性泛函的连续性比较容易刻画.

定理2.4.2 设f是赋范线性空间(X,|| ||)上的线性泛函,且f在某一点x0 X上连续,则f在X上每一点都连续.

证明 对于任意x X,若xn x,则

xn x x0 x0

由f在x0点的连续性,因此

f(xn x x0) f(x0)

所以f(xn) f(x),即f在x点连续.

这个定理说明,要验证泛函f的连续性,只须验证f在X上某一点（例如零点）的连续性就行了.

问题2.4.1 是否存在一个赋范线性空间X,X上任意线性泛函都连续？

例2.4.3 Rn上任意线性泛函都是连续的.