第二章 赋范线性空间-黎永锦(7)

定理2.1.11 设(X,|| ||)是Banach空间,M为(X,|| ||)的子空间,则(M,|| ||)是

Banach空间当且仅当M是X的闭集.

证明 设(X,|| ||)是Banach空间,当xn M,且xn x时,则{xn}为M的Cauchy列,因而{xn}收敛于 M上的一点,故x M,即M M,所以M是闭集.

反之,设{xn} M为Cauchy列,则{xn}为 (X,|| ||)的Cauchy列,由于(X,|| ||)是

Banach空间,因此{xn}是收敛列, 即存在x X使xn x,又由于M是(X,|| ||)的闭子

空间,因此x M,即xn在M中收敛于x,所以(M,|| ||)是Banach空间.

定义2.1.7 设X是线性空间,p为X上的一个实值函数,且满足： （1） p(0) 0；

（2） p(x y) p(x) p(y),对任意x,y X； （3） p( x) | |p(x),对任意x X,任意 K.

则称p为X上的半范数.

明显地,X上的范数一定是半范数,但对X上的半范数p,由于p(x) 0时不一定有x 0,因此半范数不一定是范数.

例2.1.9 在l 中,定义p1(x) |x1|,易证p1(x)是l 中的半范数,但对于

x (0,x2, ,xn, ),都有p1(x) 0,因此p不是l 的范数.

有什么办法能使(X,p)中的问题转化为赋范空间中来解决呢？

定义2.1.8 设X是线性空间,M是X的线性子空间,若x1 x2 M,则称x1与x2关于

M等价,记为x1~x2(M)

易知,等价具有下面的三个性质

（1） x~x（反射性）；

（2） x~y推出 y~x（对称性）； （3） x~y, y~z 推出x~z（传递性）.