2015年高考数学(理)真题分类汇编：专题02 函数

（3）对于任意的a，存在不相等的实数x1,x2，使得m n； （4）对于任意的a，存在不相等的实数x1,x2，使得m n. 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）. 【答案】①④ 【解析】

设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x1,g(x1)),D(x2,g(x2)). 对（1），从y 2的图象可看出，m kAB 0恒成立，故正确. 对（2），直线CD的斜率可为负，即n 0，故不正确.

对（3），由m=n得f(x1) f(x2) g(x1) g(x2)，即f(x1) g(x1) f(x2) g(x2). 令h(x) f(x) g(x) 2 x ax，则h (x) 2ln2 2x a.

由h (x) 0得：2xln2 2x a，作出y 2ln2,y 2x a的图象知，方程

x

x

2

x

x

2xln2 2x a不一定有解，所以h(x)不一定有极值点，即对于任意的a，不一定存在不

相等的实数x1,x2，使得h(x1) h(x2)，即不一定存在不相等的实数x1,x2，使得m n.故不正确.

对（4），由m=－n得f(x1) f(x2) g(x2) g(x1)，即f(x1) g(x1) f(x2) g(x2). 令h(x) f(x) g(x) 2 x ax，则h (x) 2ln2 2x a.

由h (x) 0得：2xln2 2x a，作出y 2ln2,y 2x a的图象知，方程

x

x

2

x

2xln2 2x a必一定有解，所以h(x)一定有极值点，即对于任意的a，一定存在不相等

的实数x1,x2，使得h(x1) h(x2)，即一定存在不相等的实数x1,x2，使得m n.故正确. 所以（1）（4）

【考点定位】函数与不等式的综合应用.

【名师点睛】四川高考数学15题历来是一个异彩纷呈的题，个中精彩读者可从解析中慢慢体会.解决本题的关键是转化思想，通过转化使问题得以解决.

2

x 3,x 1

17.【2015高考浙江，理10】已知函数f(x) ，则f(f( 3)) ，f(x)x

lg(x2 1),x 1

的最小值是 ． 【答案】0，22-3.