2015年高考数学(理)真题分类汇编：专题02 函数

x3,x a

13.【2015高考湖南，理15】已知f(x) 2，若存在实数b，使函数g(x) f(x) b

x,x a

有两个零点，则a的取值范围

是【答案】( ,0) (1, ). 【解析】

试题分析：分析题意可知，问题等价于方程x b(x a)与方程x b(x a)的根的个数

和为2，

3

2

1

3

b a

若两个方程各有一个根：则可知关于b的不等式组 b a有解，∴a2 b a3，从而

b a

a 1；

若方程x b(x a)无解，方程x b(x a)有2个根：则可知关于b的不等式组

3

2

1

b3 a

有解，从而

b a

a 0，综上，实数a的取值范围是( ,0) (1, ).

【考点定位】1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.

【名师点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数a的不等式，此题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力.

16.【2015高考四川，理15】已知函数f(x) 2，g(x) x ax（其中a R）.对于不相等的实数x1,x2，设m

x

2

f(x1) f(x2)g(x1) g(x2)

，n .现有如下命题：

x1 x2x1 x2

（1）对于任意不相等的实数x1,x2，都有m 0；

（2）对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2，都有n 0；