2015年高考数学(理)真题分类汇编：专题02 函数

【考点定位】分段函数

【名师点睛】本题主要考查分段函数以及求函数的最值，属于容易题，在求最小值时，可以

求每个分段上

的最小值，再取两个最小值之中较小的一个即可，在求最小值时，要注意等号成立的条件，

是否在其分段

上，分段函数常与数形结合，分类讨论等数学思想相结合，在复习时应予以关注.

18.【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位： C）满足函数关系y e

kx b

（e 2.718 为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0 C

的保鲜时间设计192小时，在22 C的保鲜时间是48小时，则该食品在33 C的保鲜时间是 小时.

【答案】24 【解析】

b

48111k1 e 192

, e22k ,e ，所以x 33时，由题意得： 22k b

19242 48 e

1

y e33k b (e11k)3 eb 192 24.

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【考点定位】函数及其应用.

【名师点睛】这是一个函数应用题，利用条件可求出参数k、b，但在实际应用中往往是利用整体代换求解（不要总是想把参数求出来）.本题利用整体代换，使问题大大简化. 19.【2015高考安徽，理15】设x3 ax b 0，其中a,b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）

①a 3,b 3；②a 3,b 2；③a 3,b 2；④a 0,b 2；⑤a 1,b 2. 【答案】①③④⑤

【解析】令f(x) x ax b，求导得f'(x) 3x a，当a 0时，f'(x) 0，所以f(x)

单调递增，且至少存在一个数使f(x) 0，至少存在一个数使f(x) 0，所以

3

2

2015年高考数学(理)真题分类汇编：专题02 函数

f(x) x3 ax b必有一个零点，即方程x3 ax b 0仅有一根，故④⑤正确；当

a 0时，若a 3，则f'(x) 3x2 3 3(x 1)(x 1)，易知，f(x)在

( , 1),(1, )上单调递增，在[ 1,1]上单调递减，所以

f(x)极大=f( 1) 1 3 b b 2，

f(x)极小=f(1) 1 3 b b 2

，

要

使

方

程

仅

有

一

根

，

则

f(x)极大=f( 1) 1 3 b b 2 0或者

f(x)极小=f(1) 1 3 b b 2 0，解得b 2或b 2，故①③正确.所以使得三次

方程仅有一个实 根的是①③④⑤.

【考点定位】1函数零点与方程的根之间的关系；2.函数的单调性及其极值.

【名师点睛】高考中若出现方程问题，通常情况下一定要考虑其对应的函数，了解函数的大

致图象特征，便于去分析方程；若出现的是高次函数或非基本初等函数，要利用导数这一工具进行分析其单调性、极值与最值；函数零点问题考查时，要经常性使用零点存在性定理.

20.【2015高考福建，理14】若函数f x

x 6,x 2,

（a 0 且a 1 ）的值

3 logx,x 2,a

域是 4, ，则实数a 的取值范围是 ．

【答案】(1,2]

【解析】当x 2，故 x 6 4，要使得函数f(x)的值域为 4, ，只需

f1(x) 3 logax（x 2）的值域包含于 4, ，故a 1，所以f1(x) 3 loga2，所

以3 loga2 4，解得1 a 2，所以实数a的取值范围是(1,2]． 【考点定位】分段函数求值域．

【名师点睛】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想的运用，属于中档题．