2012年辽宁高考数学理科试题详细解答(全word版_每(9)

时间:2025-07-10

(2)证明:设A' x2,y2 ,由矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等,得

x12 22 x22

因为点A,A'均在椭圆上,所以bx 1-2 =bx2 1-2 4x1y1=4x2y2, xy=x2y2,

a a

22

11

2

2

221

由t1 t2,知x1 x2,所以x12+x22=a2。从而y12+y22=b2,因而t12+t22=a2+b2为定值 21. (本小题满分12分)

设f x =ln

x+1 ax+b a,b R,a,b为常数 ,曲线y=f x 与直线y=切.

(1)求a,b的值;

(2)证明:当0<x<2时,f x <

3

x在 0,0 点相2

9x

x+6

(1)由y=f x 的图像过 0,0 点,代入得b=-1 由y=f x 在 0,0 处的切线斜率为

33 1 ,又y'x=0= a =+a,得a=0 2

x+1 x=02

(2)(证法一)由均值不等式,当x>0时,

记h x =f x -3

x

+1+1=x+2x

+1

2

9x1542+54+6x54

,则h'

x =

x+6x+1

x+6 22x+1 x+6 24+x1 x+6

2

x+6 -216 x+1 3

gx=x+6-216 x+1 ,则当0<x<2时, =,令 2

4 x+1 x+6 g' x =3 x+6 -216<0

因此g x 在 0,2 内是减函数,又由g 0 =0,得g x <0,所以h' x <0

因此h x 在 0,2 内是减函数,又由h 0 =0,得h x <0,于是当0<x<2时,f x <(证法二)

由(1)知f x

=ln x+1 ,由均值不等式,当x>0时,

2

9x

x+6

x

+1+1=x+2,故

x+1

2

令k x =ln x+1 -x,则k 0 =0,k' x =当x>0时,f x <

1-x

-1=<0,故k x <0,即ln x+1< x,由此得,x+1x+1

3

x,记h x = x+6 f x -9x,则当0<x<2时, 2

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