华南理工大学 线性代数与解析几何 习题 (40)(8)

ai1

D1

aj1

ai2

ain

ai1ai1

ai2 ainai2 ain

与 D2 0 。 aj2 ajn

D2是将D1的第j行元素换成第i行的元素，其他行的元素不变，这样D1与D2的

第j行的代数余子式完全相同，D2按第j行展开有：

D2 ai1Aj1 ainAjn 0 。

该定理理论上有重要的价值，后面有些地方会用到。另外，它也可以结合前面的性质简化行列式的计算。

5

372

10235

200

10

例6：计算

0 2

23

160（按第4列展开） 解：原式=( 1)2 40 23 10

25

025

5 31

00

00 000 0

02000300

2000

1000

例7：计算行列式 0n00

n 1

解：原式=( 1)1 n0n

(n 4)(n 1)

2

( 1)1 n ( 1)1 (n 1) ( 1)1 2n!

n 1

=( 1)n!

事实上，此题还可以利用定义及性质2来求解，读者自行练习。

1

24058323023

例8：设D

1674

求：1）A13 2A23 A33 3A43；