华南理工大学 线性代数与解析几何 习题 (40)(7)

证明：D ( 1)n

a12 a1n0 a2n

a2n

0

D

a12 a1n

D 0。

这个结果也常说成：奇数阶反对称行列式等于零。

§3 按行（列）展开定理

先介绍余子式和代数余子式的概念。

定义5：划去行列式中元素aij所在行和列，剩下的(n 1)2个元素按原来的排列构成的n 1级行列式，称为元素aij的余子式，记为Mij。称Aij ( 1)i jMij为aij的代数余子式。

123

例如行列式 201，M23 ，A31 ( 1)

52

512

12

3 1

2301

＝2。

a11

定理2（按行列展开定理）：设D

a12 a1n

，则有

a21 an1

a22 a2n an2 ann

D i j

(i,j 1,2, ,n) 1）ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn

0 i j D i j

(i,j 1,2, ,n) 2）a1iA1j a2iA2j aniAnj

0 i j

证明：仅证1），由性质1，2）式亦得证。 先看i j的情形，不妨设i j 1。

a11

由性质4可得D

0 0

0a21

a12

0

0a21

a1n

a21 an1

a22 a2n an2 ann

a22 a2n

a22 a2n

an1an2 annan1an2 ann

a a11A11 a1An。1 212 n1A

再看i j的情形，考察行列式