华南理工大学 线性代数与解析几何 习题 (40)(3)

大排列，元素的列数构成的排列为j1j2 jn，排列逆序数 (j1j2 jn)的奇偶性决定这一项的符号。 例1：按定义计算

a11a21

a12a22

。

解：

a11a21

a12a22

( 1) (j1j2)a1j1a2j2

j1j2

( 1) (12)a11a22 ( 1) (21)a12a21 a11a22 a12a21。

结果与中学里的直接定义结果一致。三阶行列式亦是如此。

a11

a12a220a13a23 a33

(1j2j3)

j1j2j3

a13a23 。

a33

例2：计算0

a11

a12a220

1j2j3

解：0

( 1)

(j1j2j3)

a1j1a2j2a3j3

( 1)

a11a2j2a3j3 a11a22a33。

类似地，可求得

a11a12

a1n

a11a22 ann。该行列式称为上三角行列式。

0 0

同理

a22 a2n 00

ann

00

a11a21 an1

a22

an2 ann0

00

a11a22 ann。该行列式称为下三角行列式。

a110 0

a22 0

ann

a11a22 ann 。该行列式称为对角线行列式。

行列式中从左上角到右下角这条对角线称为行列式的主对角线。 从定义可知一个n阶行列式共有n!项，计算量很大，但从例2来看，上（下）三角行列式计算比较简单。下面就介绍行列式的一些性质，以便利用这些性质化一般行列式为三角行列式，从而简化行列式的计算。