华南理工大学 线性代数与解析几何 习题 (40)

第一章 行列式

行列式是线性代数的基础知识，它在数学的其他分支中有很重要的应用。

§1 行列式的定义

一、引言

我们先看二元一次方程组

a11x1 a12x2 b1

ax ax b 2112222

当a11a22 a12a21 0时的解。由消元法易得

b1a22 b2a12

x 1aa aa 11221221

(1)

x b2a11 b1a21

2 a11a22 a12a21

在中学数学中，定义二阶行列式(1)可写为：

b1

x1

a12

a11

a11a21

a12a22

a11a22 a12a21，则上述方程组的解

b1

b2a22a21b2

，x2 。 (2)

a11a12a11a12a21

a22

a21

a22

可以发现解(2)的形式比解(1)的形式更于记忆。对于三元一次方程组也有类

似的结论。更一般的，可以推广到n元一次方程组

a11x1 a12x2 a1nxn b1 ax ax ax b 2112222nn2

(3)

an1x1 an2x2 annxn bn

的情形，为此我们先做一些准备。

二、排列

定义1：由1,2, ,n组成的一个有序数组称为一个n级排列。

n级排列通常记为j1j2 jn，易知n级所有不同排列的个数为n!。例如：

45321是一个5级排列，5级排列的总数为5!=120。

定义2：一个排列中，某两个位置上的数前大后小，称这两个数构成一个逆